循环群基本定理：

设G = (a)，则：

（1）若|a| = ∞，则G ≅ (Z,+)；

（2）若|a| = n(有限数)，则G ≅ (Zn,+)。

证：（1）当|a| = ∞，设G1 = {...,a^(-2),a^(-1),a^0,a^1,a^2,...}，

对任意a^k,a^h∈G1，a^k ≠ a^h，

否则，若存在k＞h，满足 a^k = a^h，则有：

a^(k-h) = a^k o a^(-h) = a^h o a^(-h) = a^0 = e，

这样便存在(k-h)(＞0)∈Z*(正整数集)，满足 a^(k-h) = e，

由此可推出|a| ≤ k-h，这与假设矛盾；

因为a∈G，由群公理第一条“封闭性”，a^n = a o a o ... o a ∈G(n为整数)，

从而G1⊆G，

另一方面，由于G是循环群，因此G中任意一个元素都可以表示成a^m(m是整数)的形式，

从而G⊆G1，

综上所述，G = G1；

定义f：G→Z为f(a^k) = k，易证f是一个同构映射：

①对任意的a^k∈G，都存在唯一的k∈Z与之对应，因此f是一个映射；

②对任意的k∈Z，都存在唯一的a^k∈G与之对应，因此f是一个满射；

③由f(a^k) = f(a^h)，可得k = h，从而有a^k = a^h，因此f是一个单射；

④f(a^k o a^h) = f(a^(k+h)) = k+h = f(a^k) + f(a^h)，因此f是一个同态映射。

综上所述，f是一个同构映射，所以G ≅ (Z,+)。

（2）当|a| = n，设G2 = {a^0,a^1,...,a^(n-1)}，

对任意a^k,a^h∈G2，有a^k ≠ a^h，其中 0 ≤ h＜k ≤ n-1，

从而k-h ≤ n-1＜n，即n＞k-h，

否则，若存在0 ≤ h＜k ≤ n-1，有a^k = a^h，

则a^(k-h) = a^k o a^(-h) = a^h o a^(-h) = a^0 = e，

从而|a| = n ≤ k-h，这与前述的n＞k-h矛盾；

一方面，因为G是循环群，所以对于任意的a∈G，由群公理第一条“封闭性”，可知a^k = a o a o ... o a∈G(k为任意整数)，所以G2⊆G，

另一方面，对任意的b∈G，由于G是循环群，所以存在m∈Z，满足b = a^m，

利用带余除法，存在整数q,r，使得：m = nq+r，其中0 ≤ r＜n，

所以b = a^m = a^(nq+r) = (a^n)^q o a^r = e^q o a^r = a^r∈G2，

所以G⊆G2，

综上所述，G = G2；

定义g：G→Zn为g(a^k) = [k]，同样易证g是一个同构映射：

①对任意的a^k∈G，都存在[k]∈Zn与之对应，所以g是一个映射；

②对任意的[k]∈Zn，都存在a^k∈G与之对应，所以g是一个满射；

③由g(a^k) = g(a^h)，可得[k] = [h]，若k,h＜n，则显然a^k = a^h，若k,h中有至少一个大于等于n，则可运用上面的带余除法，得出r1,r2(0 ≤ r1,r2＜n)，使得a^k = a^r1,a^h = a^r2，从而g(a^k) = g(a^r1) = [r1] = [k]，g(a^h) = g(a^r2) = [r2] = [h]，从而a^r1 = a^r2，即a^k = a^h，

因此g是一个单射；

④g(a^k o a^h) = g(a^(k+h)) = [k+h] = [k]+[h] = g(a^k) + g(a^h)，因此g是一个同态映射。

综上所述，g是一个同构映射， 所以G ≅ (Zn,+)。

 

推论1：

设G = (a)，则：

（1）若|a| = ∞，则G恰好有两个生成元a,a^(-1)；

（2）若|a| = n＜∞，则G至少有两个生成元a,a^(-1)，分别对应[1],[n-1]。

 

推论2：

设G = (a)，则：

（1）|a| = ∞当且仅当|G| = ∞；

（2）|a| = n当且仅当|G| = n。

 

（待续……）